解析：
(1)公路工程质量监督主要包括以下内容：
1)工程质量管理的法律、法规、规章、技术标准和规范的执行情况；
2)从业单位的质量保证体系及其运转情况；
3)勘察、设计质量情况，工程质量情况，使用的材料、设备质量情况；
4)工程试验检测工作情况；
5)工程质量资料的真实性、完整性、规范性、合法性情况；
6)从业单位在工程实施过程中的质量行为。
(2)交通主管部门对公路工程质量监督的职责主要是：
1)监督检查从业单位是否具有依法取得的相应等级的资质证书，从业人员是否按照国家规定经考试合格，取得上岗资格；
2)监督检查建设、勘察、设计单位、施工和监理单位质量保证体系的针对性、严密性和运行的有效性，以及各单位质量保证体系之间的协调性和一致性；
3)监督检查勘察、设计文件是否符合国家规定的技术标准和规范要求，设计文件是否达到国家规定的编制要求；
4)监督检查施工、监理和设备、材料供应单位是否严格按照有关质量标准和技术规范进行施工、监理和供应设备、材料；
5)监督检查监理单位的质量管理和现场质量控制情况，以及对公路工程关键部位和隐蔽工程的旁站情况、对各施工工序的质量检查情况；
6)监督检查试验检测设备是否合格，试验方法是否规范，试验数据是否准确，试验检测频率是否符合有关规定；
7)监督检查材料采购、进场和使用等环节的质量情况，并公布抽查样品的质量检测结果，检查关键设备的性能情况；
8)对公路工程质量情况进行抽检，分析主要质量指标的变化情况，评估总体质量状况和存在的主要问题，提出加强质量管理的政策措施和指导性意见，定期发布质量动态信息；
9)对完工项目进行质量检测和质量鉴定。
(3)建设单位办理公路工程质量监督手续，应当向公路工程项目所在地的质监机构提出申请，并提交以下材料：
1)公路工程质量监督申请书。包括公路工程项目名称及地点、建设单位、联系方式、提出工程质量监督的申请等；
2)公路工程项目审批文件；
3)公路工程项目设计、施工、监理等合同文件；
4)公路工程项目从业单位的资质证明材料；
5)交通主管部门要求的其他相关材料。
