自学考试复习专题:线性代数(经管类)重点考点

如果一个行列式为零,则此行列式 ( )。

A 必有两行(或两列)元素对应相等

B 必有两行(或两列)元素对应成比例

C 必有一行(或一列)元素全为零

D 以上说法都不一定成立


正确答案:C


若三阶行列式D的第三行的元素依次为3,1,-1它们的余子式分别为4,2,2则D=()

A、-8

B、8

C、-20

D、20


参考答案:B


四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式的值依次为5,3,-7,4,则D=-10。()

此题为判断题(对,错)。


参考答案:错误


n阶行列式都可化为上三角行列式。()

此题为判断题(对,错)。


答案:对

解析:n阶行列式都可化为上三角行列式。

可以归纳证明这个结论:

先考虑行列式D中第1列。

若第1列中元素都是0,则行列式等于0。

否则,将一个非bai零元交换到左上角,用它将第1列中其余元素化为0。

至此,D的第1行与第1列就不用动了。(相当于行列式降了一阶)

用同样的方法处理第2列。

如此下去,行列式可化为一个上三角行列式。



利用克莱姆法则求解行列式时,求解一个n阶方程组,需要()个n阶行列式。

A、n

B、n+1

C、n-1

D、n*n


参考答案:C


线性代数(经管类)考点逐个击破第一章 行列式(一)行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子,它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算,其结果为一个确定的数.1二阶行列式由4个数得到下列式子:称为一个二阶行列式,其运算规则为2三阶行列式由9个数得到下列式子:称为一个三阶行列式,它如何进行运算呢?教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法,我们采用递归法,为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3余子式及代数余子式设有三阶行列式 对任何一个元素,我们划去它所在的第i行及第j列,剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式,称它为元素的余子式,记成例如 ,再记 ,称为元素的代数余子式.例如 ,那么 ,三阶行列式定义为我们把它称为按第一列的展开式,经常简写成4n阶行列式一阶行列式 n阶行列式 其中为元素的代数余子式.5特殊行列式上三角行列式下三角行列式对角行列式 (二)行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等,即性质2 用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于kD,也就是说,行列式可以按行和列提出公因数.性质3 互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论1 如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4 行列式可以按行(列)拆开.性质5 把行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行(列)的对应元素上去,所得的行列式仍为D.定理1(行列式展开定理)n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和,即或前一式称为D按第i行的展开式,后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n阶行列式的任意一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即或(三)行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法:(1)利用行列式性质,把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值,此时要注意的是,在互换两行或两列时,必须在新的行列式的前面乘上(1),在按行或按列提取公因子k时,必须在新的行列式前面乘上k.(2)把原行列式按选定的某一行或某一列展开,把行列式的阶数降低,再求出它的值,通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素,再按这一行或这一列展开:例1计算行列式 解:观察到第二列第四行的元素为0,而且第二列第一行的元素是,利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0,然后按第二列展开.例2 计算行列式 解:方法1这个行列式的元素含有文字,在计算它的值时,切忌用文字作字母,因为文字可能取0值.要注意观察其特点,这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为(我们把它称为行和相同行列式),我们可以先把后三列都加到第一列上去,提出第一列的公因子,再将后三行都减去第一行:方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b,我们采用“加边法”来计算,即是构造一个与 有相同值的五阶行列式:这样得到一个“箭形”行列式,如果,则原行列式的值为零,故不妨假设,即,把后四列的倍加到第一列上,可以把第一列的(1)化为零.例3 三阶范德蒙德行列式 (四)克拉默法则定理1(克拉默法则)设含有n个方程的n元线性方程组为如果其系数行列式,则方程组必有唯一解:其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组,则有定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组如果其系数行列式,则该方程组只有零解:换句话说,若齐次线性方程组有非零解,则必有,在教材第二章中,将要证明,n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章 矩阵(一)矩阵的定义1矩阵的概念由个数排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵或矩阵当时,称为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵,用或O表示23个常用的特殊方阵:n阶对角矩阵是指形如 的矩阵n阶单位方阵是指形如 的矩阵n阶三角矩阵是指形如 的矩阵3矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表,而n阶行列式的最后结果为一个数,因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念,只有一阶方阵是一个数,而且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同,不能用错.(二)矩阵的运算1矩阵的同型与相等设有矩阵,若,则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等,即,则称矩阵A与B相等,记为因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵,才能说相等.2矩阵的加、减法设,是两个同型矩阵则规定 注意:只有A与B为同型矩阵,它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加,因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3数乘运算设,k为任一个数,则规定故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k,要注意数k与行列式D的乘积,只是用k乘行列式中某一行或某一列,这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4乘法运算设,则规定其中 由此定义可知,只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时,AB才有意义,而且矩阵AB的行数为A的行数,AB的列数为B的列数,而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同,一般地:不满足交换律,即在时,不能推出或,因而也不满足消去律.特别,若矩阵A与B满足,则称A与B可交换,此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律,分配律及与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵,则规定特别又若,则规定称为A的方阵多项式,它也是一个n阶方阵6矩阵的转置设A为一个矩阵,把A中行与列互换,得到一个矩阵,称为A的转置矩阵,记为,转置运算满足以下运算律:,由转置运算给出对称矩阵,反对称矩阵的定义设A为一个n阶方阵,若A满足,则称A为对称矩阵,若A满足,则称A为反对称矩阵.7方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念,但对于n阶方阵,有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵,则由A中元素构成一个n阶行列式,称为方阵A的行列式,记为方阵的行列式具有下列性质:设A,B为n阶方阵,k为数,则;(三)方阵的逆矩阵1可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵,若存在另一个n阶方阵B,使满足,则把B称为A的逆矩阵,且说A为一个可逆矩阵,意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵,把A的逆矩阵B记为,从而A与首先必可交换,且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质:设A,B为同阶可逆矩阵,为常数,则是、可逆矩阵,且;AB是可逆矩阵,且;kA是可逆矩阵,且是可逆矩阵,且可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去,即 设P为可逆矩阵,则 2伴随矩阵设为一个n阶方阵,为A的行列式中元素的代数余子式,则矩阵称为A的伴随矩阵,记为(务必注意中元素排列的特点)伴随矩阵必满足 (n为A的阶数)3n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理:n阶方阵A可逆,且推论:设A,B均为n阶方阵,且满足,则A,B都可逆,且, 例1 设(1)求A的伴随矩阵(2)a,b,c,d满足什么条件时,A可逆?此时求 解:(1)对二阶方阵A,求的口诀为“主交换,次变号”即(2)由,故当时,即,A为可逆矩阵此时(四)分块矩阵1 分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵,为了表示方便和运算简洁,常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块,每个小

设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a,则D=( )。

A.0
B.
C.
D.

答案:A
解析:


求A11+A12+A13+A14=( )。其中Alj为元素,alj(j=1,2,3,4)的代数余子式。
A. -1 B. 1 C.0 D.-2


答案:C
解析:
提示:分别求A11、A12、A13、A14计算较麻烦。可仿照上题方法计算,求A11+A12+A13+A14的值,可把行列式的第一行各列换成1后,利用行列式的运算性质计算。A11+A12+A13


设行列式Aij表示行列式元素aij的代数余子式,则A13+4A33+A43等于:
(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1


答案:A
解析:
此题有技巧,把第3列换成1,0,4,1,则


设A=(aij)是三阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式,若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=________.


答案:1、-1.
解析:


n阶行列式=_________.


答案:1、2(2^n-1).
解析:


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