(1)数学课程标准中关于“数学思考”的其中一条是:在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中,发展合情推理和演绎推理能力,清晰地表达自己的想法。而本节课所涉及的“数学思考的方法”是学生在参与四边形、五边形、六边形的内角和的探究过程中,猜想多边形的内角和是(n-2)×180°,然后通过添加辅助线(对角线)等方法证明此结论,并让学生说出自己的探究过程,最后用数学语言表示出多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)×180°。
(2)第一种:
如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和,进而发现:只需连接一条对角线,即可将一个四边形分割为两个三角形。学生说出证明过程,教师板书。
追问1:这里连接对角线起到什么作用?
预设:将四边形分割成两个三角形,进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角的和的问题。
追问2:类似地,你能知道五边形、六边形的内角和是多少度吗?
问题:你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发,猜想多边形的内角和与边数的关系(n-2)×180°。
第二种:
提问:前面我们通过从一个顶点出发作对角线,将多边形分割成几个三角形,进而探究出n边形的内角和,那么,是否还有其他分割多边形的方法呢?
学生活动:学生自主探究,小组讨论交流。学生可能会在n边形内任取一点O,连接OA1,OA2,OA3,……,OAn,则n边形被分成了n个三角形,从而才猜想出多边形的内角和是(n×180°-360°)即(n-2)×180°。
(3)方法一:先让学生回忆多边形的对角线的求法:从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线。它们将n边形分成(n-2)个三角形,这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和,由于一个三角形的内角和是180°,所以n边形的内角和等于(n-2)×180°。
方法二:前面我们通过从一个顶点出发作对角线,将多边形分割成几个三角形,进而探究出n边形的内角和,那么,是否还有其他分割多边形的方法呢?
学生活动:学生自主探究,小组讨论交流。并让小组代表板演并讲解思路。学生可能有以下几种方法:
如图,在n边形内任取一点O,连接OA1,OA2,OA3,……,OAn,则n边形被分成了n个三角形,这n个三角形的内角和为n×180°,以O为公共顶点的n歌角的和是360°,所以n边形的内角和是(n×180°-360°)即(n-2)×180°
(4)问题一设计意图:采取简单的四边形进行瘾大,利于学生迅速掌握知识,学生利用辅助线多角度的把多边形的内角和灵活地转化成三角形的内角和,体会转化的数学思想,并为下面五边形、六边形以及n边形的内角和做铺垫。
问题二设计意图:引导学生动手操作、动脑思考、小组讨论,从四边形到五边形再到六边形,以知识迁移的方式进一步体会将多边形分割成几个三角形的化归过程。也进一步明确了边数、对角线条数、三角形数对多边形内角和的影响,为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究奠定基础。
