解析：
《公务员法》第81条规定，公务员有下列情形之一的，不得辞去公职：（一）未满国家规定的最低服务年限的；（二）在涉及国家秘密等特殊职位任职或者离开上述职位不满国家规定的脱密期限的；（二）重要公务尚未处理完毕，且须由本人继续处理的；（四）正在接受审计、纪律审查，或者涉嫌犯罪，司法程序尚未终结的；（五）法律、行政法规规定的其他不得辞去公职的情形。A项正确。《公务员法》第60条规定，国家建立专门的公务员培训机构。机关根据需要也可以委托其他培训机构承担公务员培训任务，B项错误。根据《公务员法》第90条的规定，公务员对降职不服的可以向有关机关提出复核或者申诉，但不能向法院起诉，C项错误。《公务员法》第33条规定，对公务员的考核，按照管理权限，全面考核公务员的德、能、勤、绩、廉，重点考核工作实绩。D项错误。故本题答案选A。
