罗尔定理：设函数(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)(a)=(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得，′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。

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第1题：

若函数y=f(x)满足条件(63)，则在(a，B)内至少存在一点c(a＜c＜B)，使得f′(C)=(f(B)-f(A))/(b-A)成立。

A．在(a，Ｂ)内连续

B．在(a，Ｂ)内可导；

C．在(a，Ｂ)内连续，在(a，Ｂ)内可导；

D．在[a，Ｂ]内连续，在(a，Ｂ)内可导。

正确答案：D
解析：由拉格朗日定理条件，函数f(x)在[a，b)内连续，在(a，b)内可导，所以选择D正确。

第2题：

在区间[0，8]上，

下列中哪个结论是正确的？
A.罗尔定理不成立 B.罗尔定理成立，且ζ=2
C.罗尔定理成立，且ζ=4 D.罗尔定理成立，且ζ=8

答案：C

解析：

提示:验证函数是否满足罗尔定理的条件，利用罗尔定理结论求出ζ值如下。
f(x)在[0，8]上连续，在(0，8)内可导，且f(0)=f(8)=0，利用罗尔定理，在(0，8)之间至

第3题：

设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01xf(x)dx，证明：必有一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)+f(ξ)=0．

第4题：

下列函数在区间[0，3]上不满足拉格朗日定理条件的是（）《》（）

答案：C

解析：

第5题：

设函数f(x)在区间［0，1］上具有2阶导数，且

，证明：
　　(Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
　　(Ⅱ)方程

在区间(0，1)内至少存在两个不同实根.

答案：

解析：

第6题：

若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b），则在（a，b）内满足f ′（x0）＝0的点x0（　　）。

A．必存在且只有一个
B．至少存在一个
C．不一定存在
D．不存在

答案：B

解析：

由罗尔中值定理可知：函数满足闭区间连续，开区间可导，端点函数值相等，则开区间内至少存在一个驻点ξ使得f ′（ξ）＝0。

第7题：

设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，

答案：

解析：

第8题：

在(－1,1)区间上满足罗定理条件的函数是()

A、y=x

B、y=1/x

C、y=x²

D、y=/x/

答案：C
解析：A.函数在区间两端点的值不相等,即f(-1)≠f(1)，错误
B.函数在[-1,1]上不连续，错误
D错，x=0时不可导
所以选C。

第9题：

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且

=A，则

存在，且.

答案：

解析：

第10题：

设f(x)为开区间（a，b）上的可导函数，则下列命题正确的是（）。

A.f(x)在（a，b）上必有最大值

B.f(x)在（a，b）上必一致连续

C.f(x)在（a，b）上必有

D.f(x)在（a，b）上必连续

答案：D

解析：

本题主要考查连续函数的特点。f(x)为开区间（a，b）上的可导函数，则可能出现极值，不一定存在最大值，当函数为分段函数时，不一定有界，故A、C两项错误。可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导，故D项正确。只有f(x)为闭区间[a，b]上的可导函数时才符合一致连续，故B项错误。

罗尔定理：设函数(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)(a)=(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得，′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。

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