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设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ、η是a的分别属于λ1

题目

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ、η是a的分别属于λ1、λ2的特征向量，则以下选项正确的是（）。

  • A、对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量
  • B、存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量
  • C、对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量
  • D、仅当k1=k2=0时，k1ξ+k2η是A的特征向量
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第1题：

设A是n阶矩阵,且E＋3A不可逆,则()。

A.3是A的特征值

B.-3是A的特征值

C.1/3是A的特征值

D.-1/3是A的特征值


答案：D

解析：E＋3A不可逆，即∣E＋3A∣=0，即-3 * ∣（-1/3）E-A∣=0，所以A的特征值为-1/3。

第2题：

设是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵（2A3）- 1有一个特征值为：

A.3
B.4
C.
D.1

答案：B
解析：
提示：利用矩阵的特征值与矩阵的关系的重要结论：设λ为A的特征值，则矩阵

第3题：

设三阶矩阵A的特征值为1,1,2,则2A＋E的特征值为()。

A、3，5

B、1，2

C、1，1，2

D、3，3，5


参考答案：D

第4题：

设λ=1/2是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵(2A3)-1有一个特征值为：
A. 3 B.4 C.1/4 D. 1


答案：B
解析：
提示:利用矩阵的特征值与矩阵的关系的重要结论:设λ为A的特征值，则矩阵kA、aA +bE、A2、Am、A-1 、A*分别有特征值:kλ、aλ+b、λ2、λm、1/λ、 A /λ，且特征向量相同(其中a，b为不等于0的常数，m为正整数)。
矩阵(2A3)-1对应的特征值应是矩阵2A3对应特征值的倒数，下面求矩阵2A3对应的特征值。已知λ=1/2是非奇异矩阵A的特征值，矩阵A3对应的特征值为矩阵A对应的特征值λ=1/2的三次方(1/2)3 ，矩阵2A3对应的特征值为2(1/2)3 =1/4，从而(2A3)-1对应的特征值为1/(1/4)=4。

第5题：

已知n阶可逆矩阵A的特征值为λ0，则矩阵(2A)-1的特征值是：


答案：C
解析：

第6题：

设三阶矩阵A:，则A的特征值是:

A.1，0，1
B.1，1，2
C.-1，1，2
D.1，-1，1

答案：C
解析：

第7题：

设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是().

A.矩阵A不可逆
B.矩阵A的迹为零
C.特征值-1,1对应的特征向量正交
D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量

答案：C
解析：
由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得|A|=0，则r(A)小于3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，所以选(C).

第8题：

设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为－1,2,则|B|=()

A、-1

B、-2

C、1

D、2


参考答案：B

第9题：

设A是3阶实对称矩阵，P是3阶可逆矩阵，B=P-1AP，已知a是A的属于特征值λ的特征向量，则B的属于特征值λ的特征向量是：
A. Pa B. P-1

A C. PTa D.（P-1）Ta

答案：B
解析：

第10题：

设A是3阶实对称矩阵，P是3阶可逆矩阵，B=P-1AP，已知α是A的属于特征值λ的特征向量，则B的属于特征值λ的特征向量是：(A) Pα (B) P-1α (C) PTa (D) P(-1)Ta


答案：A
解析：
解：选A。
考察了实对称矩阵的特点，将选项分别代入检验可得到答案。

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