教学设计题：试分析平行四边形面积公式推导过程中体现的数学思想。

在面积公式的推导中蕴含了转化、迁移的数学思想，如将平行四边形转化成长方形、将三角形转化成平行四边形、将梯形转化成三角形等；在圆面积公式的推导中蕴含了极限思想及化曲为直的思想，如把一个圆等分成若干个小扇形，当分成的小扇形越多，拼成的图形就越接近长方形，这其中蕴含着极限思想；而把一个圆转化成一个长方形来算它的面积，这又蕴含着转化思想和化曲为直的思想：故答案选D。

本题主要以高中数学必修4中 “两角差的余弦公式”为例，考查三角函数的基础知识、课程概述及教学设计工作等相关知识，比较综合性地考查学科知识、课程知识以及教学技能的基本知识和基本技能。

（1）学生已有的知识基础：高一学生已经学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，从日常教学所反应的学生特点来看，学生对类比和分类讨论的思想有所体会，但是还是只停留在体会阶段，没有办法真正灵活的运用。具有了一定归纳总结的能力，但对于一般结论的原因，还是没能用严格的定义证明。

（2） “两角差的余弦公式”是高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《和角公式》的重点内容，“两角差余弦公式”的推导及在推导过程中体现的思想方法是本课的重点内容，同时它也是难点。

（3）教科书已经明确指出，向量的数量积是解决距离与夹角问题的好工具，在两角差的余弦公式的推导中正好能够体现向量的数量积的作用。

1、两种方法蕴含的是转化与化归思想。学生将三角形通过剪拼转化为平行四边形或长方形，再通过平行四边形或长方形的面积公式得到三角形的面积公式。

2、1．知识与技能目标
探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标
使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3．情感态度与价值观目标
让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。


3.一、动手操作，导入新知
1．师：同学们，我们来玩一个游戏好吗？请大家拿出信封内的长方形、正方形和平行四边形。请大家想一想，如何在每个图形上折一次，使折痕两边的形状、大小完全一样，先思考或讨论有几种折法，再开始折，并用彩色笔画出折痕。（学生思考、讨论）
2．学生代表上台汇报操作结果。
3．师根据汇报有选择地在黑板上贴出四种折法。
4．让学生观察后提问。
师：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的什么图形？
生：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的三角形。
师：如果我们知道长方形长为30厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积是多少？你是怎样求出来的？
生：长方形的面积是30×20＝600（平方厘米），每个三角形的面积是600÷2＝300(平方厘米)。
师：如果我们知道正方形边长为30厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积又是多少呢？为什么？
生：正方形的面积是30×30＝900（平方厘米），每个三角形的面积是900÷2=450(平方厘米)。
师：如果我们知道平行四边形的底为40厘米，高为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积呢？为什么？
生：平行四边形的面积是40×20＝800（平方厘米），每个三角形的面积是800÷2＝400（平方厘米）。
[设计理由]通过动手操作，既做到复习旧知，又让学生初步理解三角形的面积与平行四边形之间的联系，为新知的探索做好铺垫。
5．师：看来今天我们班的同学很乐意表现自己，老师真为你们感到高兴。如果我们从桌子上任意取一个三角形，（师拿起任意一个三角形模型）这个三角形的面积怎样求呢？这就是我们今天要学习研究的内容。
[设计意图]从不会计算的面积图形中揭示课题，激发学生的探究兴趣。
二、探索三角形面积计算公式
1．玩游戏，小组内交流问题。
师：刚才同学们玩了一次折一折的游戏，想不想再继续玩？好，现在我们再来玩一个。拿出信封里面的学具，从中找出两个形状、大小完全一样的三角形拼一拼，看你发现了什么？同时要思考以下几个问题：(1)两个完全一样的三角形能拼出什么图形？(2)拼成图形的面积你会算吗？(3)拼成的图形与原来每一个三角形有什么联系？
（学生在小组里动手拼一拼，并相互交流以上问题）
[设计理由]给学生留出足够的空间，发挥学生的主观能动性和合作精神，自主探索三角形的面积的公式。
2.学生代表上台演示汇报。
生：我们用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积＝底X高，每一个锐角三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以一个三角形的面积＝底×高÷2。
师：同学们，你们明白了吗？请把掌声送给刚才这组。
师：刚才这个小组是用两个完全一样的锐角三角形来拼组的。你们还有其他新的发现吗？
（分别点用直角三角形、钝角三角形拼组的小组代表汇报，学生汇报每一种拼组后都贴在黑板上。老师小结时，故意把其中的一个三角形拿掉，并用虚线表示）
[设计理由]让各组学生口头表达自己小组的推导过程，锻炼学生整理思维、理顺思路的能力和口头表达能力。
3.根据学生的汇报，老师小结。
师：看来不管是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，只要两个完全一样的三角形就能拼成一个平行四边形，大家都说其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半。是不是任意一个三角形面积是任意一个平行四边形面积的一半？
生：不是。三角形的底和高必须与平行四边形的底和高相等时才是。
师：看来，我们通过玩一玩、拼一拼，知道了怎样求一个三角形的面积了。那谁来说一说三角形的面积的计算公式是什么？
生：三角形的面积＝底×高÷2。
师：同学们，老师有点不明白，为什么写这个公式时用三角形的底乘高呢？“底×高”表示什么意思？为什么要“÷2”？
生：“底×高”表示用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积；因为一个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要“÷2”。
师：同学们，如果用a表示三角形的底，h表示三角形的高，表示三角形的面积，三角形面积的字母公式是什么？
生：s＝a×h÷2（教师板书）
4.介绍教材上的数学知识。
师：同学们，你们知道吗？今天我们一起动手推导出来的三角形的面积计算公式，很早以前，我们的祖先就已经发现了，请看屏幕。（多媒体出示）
师：同学们，我国古代数学家固然伟大。但是，老师觉得你们更了不起！他们年纪很大了才发现的，而咱们年纪轻轻的也找到三角形面积的计算方法了。来，把热烈的掌声送给自己！
[设计理由]通过数学知识的介绍，渗透爱国主义思想教育，同时增强学生利用知识解决实际问题的信心。
三、学以致用，解决问题
师：同学们，我们已经推导出了三角形面积计算公式，现在我们就用三角形的面积计算公式解决一些实际问题。
(1)计算红领巾的面积。
(2)计算三角形标志牌的面积。
(3)画面积相等的三角形。
四、课堂小结
师：本节课你学到了什么新知识？你觉得计算三角形面积时应注意什么？通过本节课的学习，你有哪些收获和感受？
（学生汇报略）

(1)平行四边形性质的三维教学目标如下：
知识与技能：知道平行四边形的概念，探索并证明平行四边形边、角的性质定理，发展分析推理思维能力。
过程与方法：经历对平行四边形性质的探索过程，明确性质的条件和结论，并能运用性质解决问题。
情感态度与价值观：在合作探究中体会解决问题的快乐，提高实践能力和合作交流能力。
(2)发现探究平行四边形性质的流程：
<流程一>：
首先．引导学生以四人为一个学习小组，自主根据平行四边形的定义任意绘制平行四边形并观察。
其次，通过多媒体以问题串的形式呈现出以下问题：“除了两组对边分别相等，它的边之间还有什么关系 它的角之间有什么关系 量一量，检验一下与你的猜想一致吗 ”让学生组内讨论分析。
最后，在学生探究并讨论结束后，请一两个小组代表汇报本组的发现，教师适时予以引导，得出猜想：平行四边形对边、对角相等。
<流程二>：
首先：通过多媒体呈现问题“小明同学用量角器量出平行四边形的一个内角是77。，就说知道了其余三个内角的度数；用直尺量出了一组邻边的长分别为40 cm和45 cm，就说知道了这个平行四边形的周长。你知道小明同学是怎么计算的吗 ”，引导学生以学习小组的形式进行讨论。
其次。讨论结束后，请几个小组代表汇报本组的观点，教师将观点进行总结归纳，与学生一起得出猜想：平行四边形对边、对角相等。
(3)平行四边形性质证明的教学流程如下：
首先．通过问题(2)中的任一流程得出平行四边形的性质猜想：平行四边形对边、对角相等。
其次．口头提出任务“得出猜想后，能否用文字和符号语言将其证明出来 ”并给予学生一定的时间，让其先不看书中证明步骤利用之前所学知识进行自主证明。此时，教师走到学生中间，必要时予以点拨，比如添加辅助线，先证明两三角形全等等内容。
再次，请三个小组的代表到黑板上板书本组的证明过程，教师与其他小组一起分别点评之后，一起总结归纳出平行四边形关于边、角的性质定理——平行四边形的对边以及对角相等。再与学生一起对证明过程中所需要用到的转化思想(通过证明三角形全等来证明对边、对角相等)进行总结归纳。
最后．再让学生将自己的证明过程与书中过程进行比对，不够合理之处予以修正。

二、考题解析
【教学过程】
(一)引入新课
复习平行四边形的面积公式及推导过程。提问：我们已学会了用转化的方法推导平行四边形面积的计算公式，那怎样计算梯形的面积呢?
引出课题。
(二)讲解新知
提问：你能仿照求平行四边形面积的办法，把梯形也转化成已学过的图形，计算出它的面积吗?
学生操作，教师巡回观察指导。



提问：转化得到的平行四边形的底和高与梯形的底和高有什么关系?每个梯形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系?
学生汇报讨论结果。
并尝试总结梯形面积的计算公式：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2)，字母表示公式为S=(a+b)h÷2。
(三)课堂练习
练习：求出堤坝横截面的面积。



(四)小结作业
提问：今天有什么收获?引导学生回顾：梯形面积公式的推导过程。
作业：课后练习。



梯形的面积
梯形面积的计算公式：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2)
字母表示公式为S=(a+b)h÷2。
【答辩题目解析】
1.你在教学过程中，当有学生在梯形面积的推导过程中有不同的思路时，你是怎么处理的?
【参考答案】
作为老师，首先应该鼓励学生的创新性思维，鼓励他们多动手操作、动脑思考;然后与其他学生一起验证这种方法的正确与否，得到什么结论;最后，鼓励学生还有没有其他的推导方法，能不能通过其他方式，转化推导出梯形的面积。
2.本节课中用到什么数学思想方法?
【参考答案】
转化的思想方法。把梯形的面积转化为平行四边形的面积，从而推导出梯形的面积公式。

本题主要以初中数学教学中的重要内容之一“平行四边形的性质定理”为例，平行四边形的性质定理的基础知识，初中数学课程内容、课程标准及实施建议，教学过程的基本要素及教学方法的选择，教学设计中的教学目标、教学过程及教学策略等相关知识，比较综合性地考查学科知识、课程知识、教学知识以及教学技能的基本知识和基本技能。

（1）新课标倡导三维教学目标，知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标。知识与技能目标，是对学生学习结果的描述，即学生同学习所要达到的结果，又叫结果性目标。这种目标一般有三个层次的要求：学懂、学会、能应用。

过程与方法目标，是学生在教师的指导下，如何获取知识和技能的程序和具体做法，是过程中的目标，又叫程序性目标。这种目标强调三个过程：做中学、学中做、反思。

情感态度与价值观目标，是学生对过程或结果的体验后的倾向和感受，是对学习过程和结果的主观经验，又叫体验性目标。它的层次有认同、体会、内化三个层次。

知识与技能目标是过程与方法目标、情感态度与价值观目标的基础；过程与方法目标是实现知识与技能目标的载体，情感态度与价值观目标对其他目标有重要的促进和优化作用。

（2）让学生发现平行四边形性质的教学流程，可以从不同角度进行设计，如“观察—猜想—验证—归纳”，“动手操作—小组讨论—归纳总结”等，但重要的是让学生在学习过程中进行主动学习，教师只是起到引导的作用，充分体现“学生是主体，教师是主导”的教学理念。

（3）平行四边形关于边、角的性质定理，即平行四边形的对边以及对角相等，这一定理的证明是通过证明三角形全等来证明对边、对角相等来进行的。注意在平行四边形性质证明的教学流程中，务必使学生领悟证明过程中所用到的转化思想与方法。

杨老师在教学的最后环节，让学生强化记忆了平行四边形的面积公式，对公式的推导过程进行回顾反思，并没有体现评价方式的多样化。

【参考设计】
问题（一）：两种方法蕴含的是转化与化归思想。学生将三角形通过剪拼转化为平行四边形或长方形，再通过平行四边形或长方形的面积公式得到三角形的面积公式。
问题（二）：
1.知识与技能目标
探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标
使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3.情感态度与价值观目标
让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
问题（三）：
一、动手操作，导入新知
1.师：同学们，我们来玩一个游戏好吗？请大家拿出信封内的长方形、正方形和平行四边形。请大家想一想，如何在每个图形上折一次，使折痕两边的形状、大小完全一样，先思考或讨论有几种折法，再开始折，并用彩色笔画出折痕。（学生思考、讨论）
2.学生代表上台汇报操作结果。
3.师根据汇报有选择地在黑板上贴出四种折法。
4.让学生观察后提问。
师：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的什么阁形？
生：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的三角形。
师：如果我们知道长方形长为30厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积是多少？你是怎样求出来的？
生：长方形的面积是30X 20 = 600(平方厘米），每个三角形的面积是600÷2 = 300(平方厘米）。
师：如果我们知道正方形边长为30厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积又是多少呢？为什么？
生：正方形的面积是30 X 30 = 900(平方厘米），每个三角形的面积是900 ÷ 2 = 450 (平方厘米）。
师：如果我们知道平行四边形的底为40厘米，高为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积呢？为什么？
生：平行四边形的面积是40 X 20 = 800(平方厘米），每个三角形的面积是800÷ 2 = 400 (平方厘米）。
[设计理由]通过动手操作，既做到复习旧知，又让学生初步理解三角形的面积与平行四边形之间的联系，为新知的探索做好铺垫。
5.师：看来今天我们班的同学很乐意表现自己，老师真为你们感到高兴。如果我们从桌子上任意取一个三角形，（师拿起任意一个三角形模型）这个三角形的面积怎样求呢？这就是我们今天要学习研究的内容。
[设计意图]从不会计算的面积图形中揭示课题，激发学生的探究兴趣。
二、探索三角形面积计算公式
1.玩游戏，小组内交流问题。
师：刚才同学们玩了一次折一折的游戏，想不想再继续玩？好，现在我们再来玩一个。拿出信封里面的学具，从中找出两个形状、大小完全一样的三角形拼一拼，看你发现了什么？同时要思考以下几个问题：（1)两个完全一样的三角形能拼出什么图形？（ 2)拼成图形的面积你会算吗？（ 3)拼成的图形与原来每一个三角形有什么联系？
(学生在小组里动手拼一拼，并相互交流以上问题）
[设计理由]给学生留出足够的空间，发挥学生的主观能动性和合作精神，自主探索三角形的面积的公式。
2.学生代表上台演示汇报。
生：我们用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积=底X高，每一个锐角三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以一个三角形的面积=底X高÷ 2。
师：同学们，你们明白了吗？请把掌声送给刚才这组。
师：刚才这个小组是用两个完全一样的锐角三角形来拼组的。你们还有其他新的发现吗？
(分别点用直角三角形、钝角三角形拼组的小组代表汇报，学生汇报每一种拼组后都贴 在黑板上。老师小结时，故意把其中的一个三角形拿掉，并用虚线表示）
[设计理由]让各组学生口头表达自己小组的推导过程，锻炼学生整理思维、理顺思路的能力和口头表达能力。
3.根据学生的汇报，老师小结。
师：看来不管是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，只要两个完全一样的三角形就能拼成一个平行四边形，大家都说其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半。是不是任意一个三角形面积是任意一个平行四边形面积的一半？
生：不是。三角形的底和高必须与平行四边形的底和高相等时才是。
师：看来，我们通过玩一玩、拼一拼，知道了怎样求一个三角形的面积了。那谁来说一说三角形的面积的计算公式是什么？
生：三角形的面积=底X高÷ 2。
师：同学们，老师有点不明白，为什么写这个公式时用三角形的底乘高呢？ “底X高”表示什么意思？为什么要“÷2”？
生：“底X高”表示用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积；因为一个角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要“÷2 ”。
师：同学们，如果用a表示三角形的底，h表示三角形的高，s表示三角形的面积，三角形面积的字母公式是什么？
生：s = ah ÷2(教师板书）
4.介绍教材上的数学知识。
师：同学们，你们知道吗？今天我们一起动手推导出来的三角形的面积计算公式，很早以前，我们的祖先就已经发现了，请看屏幕。（多媒体出示）
师：同学们，我国古代数学家固然伟大。但是，老师觉得你们更了不起！他们年纪很大了才发现的，而咱们年纪轻轻的也找到三角形面积的计算方法了。来，把热烈的掌声送给自己！
[设计理由]通过数学知识的介绍，渗透爱国主义思想教育，同时增强学生利用知识解决实际问题的信心。
三、学以致用，解决问题
师：同学们，我们已经推导出了三角形面积计算公式，现在我们就用三角形的面积计算公式解决一些实际问题。
(1)计算红领巾的面积。
(2)计算三角形标志牌的面积。
(3)画面积相等的三角形。
四、课堂小结
师：本节课你学到了什么新知识？你觉得计算三角形面积时应注意什么？通过本节课 的学习，你有哪些收获和感受？
(学生汇报略）
(参考来源：http://www. pep. com cn/xxsx/jszx/tbjxzy/xs5ajxzy/wenzi/201201/120120106_ 1094762. htm，有改动）

一、学情分析
知识方面：学生在前面接触过矩形的面积和三角形面积的有关知识，运用直观生动的形象，是学生通过动手测量发现平面图形的面积的，并用三角形面积的知识加以证明
心理方面：根据五年级学生的心理特征，学生好动性强，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，老师应该给以鼓励和表扬。
二、教学目标
1．知识与技能目标：通过长方形面积计算知识迁移，理解平行四边形面积的计算公式，并能正确计算平行四边形面积。在割补图形中发展空间观念；初步感知等积转化的思想方法，提高解决问题的能力。
2．过程与方法目标：通过实践一感性认识一理性认识一实践应用等一系列的教学，培养学习、交流、评价的意识。
3．情感态度与价值观目标：通过活动，激发学习兴趣，培养探索的精神，感受数学与生活的密切联系，使学生初步感受到事物是相互联系的，在一定条件下可以相互转化。
三、教学重点、难点
教学重点：理解平行四边形面积公式的推导过程，学会计算平行四边形的面积。
教学难点：掌握平行四边形面积公式的推导过程。
四、教学准备
多媒体课件、每4人小组一套学具(剪刀，直尺，带格子的平行四边形、长方形硬纸片，长方形活动框架，学习记录卡)、板书用卡纸等。
五、教学过程
1．课前导学
出示几张已经学过的图形、指认平行四边形的底和高等，为学习平行四边形的面积作铺垫。
2．探究展示
(1)自主探究平行四边形的面积计算方法。
师：到底平行四边形的面积怎样计算呢?下面我们一起做个实验观察一下。现在请各小组拿出学具，在组长的组织下，利用学具进行操作实验，并解决下面三个问题。(出示学案)明白了吗?现在开始进行实验。
小组合作，操作实验：
?①如何把平行四边形剪拼成已经学过的长方形?
②剪拼后面积有变化吗?拼出的长方形的长、宽与原来的平行四边形的底、高有什么关系?
?③你能根据长方形面积的计算公式推导出平行四边形的面积计算公式吗?
(2)组织学生进行学习成果汇报。
师：哪个小组愿意来把你们的操作实验的过程和结果展示给全班同学们看?
按问题顺序让学生边操作边回答相关问题和完成板书，预设学生汇报如下：
生1：我们沿着平行四边形的高剪开，就把平行四边形分成了一个三角形和一个梯形，把三角形部分平移到梯形的另
一边，就拼成了一个长方形。
生2：平行四边形拼成长方形后，只是把剪下部分移到了另一边，形状变了，但它们的面积并没有变化，是相等的。
生3：拼成的长方形的长和原来平行四边形的底相等，长方形的宽和平行四边形的高相等。
生4：根据“长方形的面积=长X宽”，我们就知道了“平行四边形的面积=底X高”。
3．质疑点拨
(1)质疑：
师：刚才这个小组同学的汇报真不错，掌声鼓励一下。
师：其他小组是不是也这样操作的呢?(让有不同操作的同学上台展示)
师：从刚才这个小组的操作中我们可以发现，只要沿着平行四边形内的任意一条高剪开，都可以把平行四边形拼成一个长方形。
师：请同学们阅读课本81页，看看还有没有疑问?请大胆提出来。(如说出字母公式)
(2)点拨：
师：刚才我们做了一个很成功的实验。(课件演示)根据长方形的面积=长×宽，推导出了平行四边形的面积=底×高。如果用字母S表示平行四边形的面积，a表示底，h表示高，那么平行四边形面积的计算公式可以写成S=a?×?h。从这
个计算公式里我们知道要求平行四边形的面积必须要知道什么条件?(底和高)
4．教师出示课件：平行四边形转化为长方形的过程。
5．测评提高
(1)公式应用：出示课件特例，请学生在黑板上做题。
(2)知识巩固
①口算课件例一平行四边形的面积，看谁是数学小天才哦。加油!
师：看来同学们已经掌握了求平行四边形面积的方法了，我们继续利用这个知识来挑战下面的问题，有没有信心?
②选择题。
求课件上这个平行四边形的面积正确的列式是(???)
A．5．5×4
B．5．5?×3
C．4×3
师：(边示范边说)如果选择A就举一个手指，选B就举两个手指，选C就举三个手指。准备好了吗?请选择。
(让学生说一说自己的看法。订正时强调计算平行四边形的面积，一定要选择对应的底和高。)
③选择题(P82第3题)，方法与上题相同。
求课件上这个平行四边形的高是多少米，正确的列式是()
A．28×7
B．28÷7
C．无法计算
六、反思总结
今天我们自主探究了什么知识?在这节课里，你觉得给自己印象最深刻的地方是什么?阿凡提就是用了平行四边形的面积知识教训了狡猾的巴依，这也说明了数学知识在现实生活中非常重要，希望同学们以后会更加喜欢数学。
(设计意图：师生共同概括小结，这样会给学生一个系统、完整的印象，不但使本节课有一个精彩的结尾，而且进一步深化了新知。)