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设Α是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明ΑB可对角化

题目
设Α是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明ΑB可对角化

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第1题：

N阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是().



A.A无负特征值
B.A是满秩矩阵
C.A的每个特征值都是单值
D.A^-1是正定矩阵

答案：D
解析：
A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件，选(D).

第2题：

若A是实对称矩阵，则若|A|＞O，则A为正定的


答案：错
解析：

第3题：

设A，B是正定矩阵，则A+B为()


参考答案：正定矩阵

第4题：

设A是n阶正定矩阵,证明:｜E+A｜>1.


答案：
解析：

第5题：

若A是实对称矩阵，则A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正


答案：对
解析：

第6题：

设A,B为正定矩阵,C是可逆矩阵,下列矩阵不是正定矩阵的是().


答案：D
解析：

第7题：

设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().

A.可逆矩阵
B.实对称矩阵
C.正定矩阵
D.正交矩阵

答案：B
解析：

第8题：

设A,B是正定实对称矩阵，则().

A. AB,A+B一定都是正定实对称矩阵

B. AB是正定实对称矩阵，A+B不是正定实对称矩阵

C. A+B是正定实对称矩阵，AB不一定是正定实对称矩阵

D. AB必不是正定实对称矩阵，A+B必是正定实对称矩阵


参考答案C

第9题：

设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.


答案：
解析：
【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
(1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
(2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.

第10题：

设A,B都是N阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是.AB=BA


答案：
解析：

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