若函数f(x,y)在闭区域D上连续,下列关于极值点的陈述中正确的

题目

若函数f(x,y)在闭区域D上连续,下列关于极值点的陈述中正确的是()。

  • A、f(x,y)的极值点一定是f(x,y)的驻点
  • B、如果P0是f(x,y)的极值点,则P0点处B2-AC<0
  • C、如果P0是可微函数f(x,y)的极值点,则P0点处df=0
  • D、f(x,y)的最大值点一定是f(x,y)的极大值点
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第1题:

已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 ,则

A.点(0,0)不是f(x,y)的极值
B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点


答案:A
解析:

第2题:

已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且

A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点

答案:A
解析:
由题设,容易推知f(0,0)=0,因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值,关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号。

第3题:

以下结论正确的是()。

A、若x0为函数y=f(x)的驻点,则x0必为函数y=f(x)的极值点.

B、函数y=f(x)导数不存在的点,一定不是函数y=f(x)的极值点.

C、若函数y=f(x)在x0处取得极值,且f′(x)存在,则必有f′(x)=0.

D、若函数y=f(x)在x0处连续,则y=f′(x0)一定存在.


参考答案:C

第4题:

设f(x,y)为连续函数,且满足,其中D是由x轴、y轴、所围成的闭区域


答案:
解析:

第5题:

下列命题正确的是()

A.函数f(x)的导数不存在的点,一定不是f(x)的极值点
B.若x0为函数f(x)的驻点,则x0必为f(x)的极值点
C.若函数f(x)在点x0处有极值,且f'(x0)存在,则必有f'(x0)=0
D.若函数f(x)在点x0处连续,则f'(x0)一定存在

答案:C
解析:
根据函数在点x0处取极值的必要条件的定理,可知选项C是正确的.

第6题:

设三次函数 , 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是

A.关于y轴对称
B.关于原点对称
C.关于直线y=x轴对称
D.以上均错

答案:B
解析:

第7题:

设函数f(x,y)=X2+Y2+xy+3,求f(x,y)的极值点与极值.


答案:
解析:

第8题:

函数厂(x)具有连续的二阶导数,且f″(0)≠0,则x=0( )。

A.不是函数f(x)的驻点
B.一定是函数f(x)的极值点
C.一定不是函数f(x)的极值点
D.是否为函数f(x)的极值点,还不能确定

答案:D
解析:
由极值的必要条件可知,若f(x)在x=0处可导,且x=0是f(x)的极值点,则必有f′(0)=0。由题干无法确定f′(0)是否等于0,因此不能确定x=0是否为函数f(x)的极值点。

第9题:

求y=f(x)=2x3-3x2-12x+14的极值点和极值,以及函数曲线的凸凹性区间和拐点.


答案:
解析:
y'=6x2-6x-12,y''=12x-6,令y'=0得驻点x1=-1,x2=2,当x2=2时,y''=18>0.所以f(z)在x=2处取极小值-6.当x1=-1时,y''<0.所以f(x)在x=-1处取极大值21.

第10题:

已知微分方程y’+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数.
  (Ⅰ)若f(x)=x,求方程的通解.
  (Ⅱ)若f(x)是周期为T的函数,证明:方程存在唯一的以T为周期的解.


答案:
解析:
【解】(Ⅰ)若f(x)=x,则方程为y'+y=x通解为


(Ⅱ)设y(x)为方程的任意解,则y'(x+T)+y(x+T)=f(x+T).
而f(x)周期为T,有f(x+T)=f(x).又y'(x)+y(x)=f(x).
因此y'(x+T)+y(x+T)-y'(x)-y(x)=0,有(e^x[y(x+T)-y(x)])'=0,
即e^x[y(x+T)=y(x)]=C.取C=0得y(x+T)-y(x)=0,
y(x)为唯一以T为周期的解.

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