某县人民法院审理一起刑事自诉案件，宣判认定了被告人张某故意伤害李

自诉案件的证明责任由自诉人承担。

根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国刑事诉讼法〉的解释》（以下简称《刑事诉讼法解释》）第1条的规定，遗弃案不属于告诉才处理的案件，而是被害人有证据证明的轻微刑事案件。可见，A错误；根据《刑事诉讼法解释》第1条的规定，被害人有证据证明对被告人侵犯自己人身、财产权利的行为应当依法追究刑事责任，且有证据证明曾经提出控告，而公安机关或者人民检察院不予追究被告人刑事责任的案件。人民法院可以直接受理。B项错误；根据《刑事诉讼法》第206条的规定，人民法院对自诉案件，可以进行调解，但是《刑事诉讼法》第204条第3项规定的案件除外。即公诉转自诉案件不适用调解，C错误；对于被害人有证据证明的侵犯通信自由案，人民法院应当依法受理。D正确。

A项错误，根据《刑诉解释》第1条规定，遗弃罪不属于告诉才处理的案件，因此该人民法院受理该案的理由错误。B项错误，根据《刑诉解释》第1条规定，被害人有证据证明的对被告人应该追究刑事责任，而公安机关或者人民检察院已经作出不予追究的书面决定的，人民法院可以直接受理，而该项中为口头决定。C项错误，根据《刑事诉讼法》第206条规定，人民法院对自诉案件，可以进行调解，但是第204条第(3)项规定的案件除外。

《刑事诉讼法》第198条规定了人民法院在审理案件的过程中可以延期审理的情形，其中的第(1)、(2)、(3)项对应了本题中ACD三项所述的内容，在这三种情况下，法庭都可以依法对案件进行延期审理。B项是《刑诉解释》第243条规定的内容，在这种情况下，人民法院可以建议人民检察院补充或者变更起诉，而不是延期审理，所以不符合本题的题意。
根据《刑事诉讼法》第205条的规定，自诉人经两次合法传唤，无正当理由拒不到庭的，或者未经法庭准许中途退庭的，应当按照撤诉处理。对自诉人申请撤诉的，人民法院当然可以作撤诉处理。故此，本题选项ABC均正确。
刑事自诉案件不论是适用简易程序还是普通程序审理期限都不可能超过10个月。C选项直接违反了《刑事诉讼法》第202、214条的规定。至于D项，《刑事诉讼法》第206条规定，人民法院对自诉案件，可以进行调解。而不是必须调解，故D项符合题意。
《高检规则》第466条规定：具有下列情形之一的，人民检察院不应当建议人民法院适用简易程序：(1)犯罪嫌疑人是盲、聋、哑人，或者是尚未完全丧失辨认或者控制自己行为能力的精神病人的；(2)有重大社会影响的；(3)共同犯罪案件中部分犯罪嫌疑人不认罪或者对适用简易程序有异议的；(4)比较复杂的共同犯罪案件；(5)辩护人作无罪辩护或者对主要犯罪事实有异议的；(6)其他不宜适用简易程序的。本题中，被告人要求适用普通程序，符合上述第三种情形，故正确选项是B。
根据《刑诉解释》第298条的规定，适用简易程序审理案件，在法庭审理过程中，有下列情形之一的，应当转为普通程序审理：“(1)被告人的行为可能不构成犯罪的；(2)被告人可能不负刑事责任的；(3)被告人当庭对起诉指控的犯罪事实予以否认的；(4)案件事实不清、证据不足的；(5)不应当或者不宜适用简易程序的其他情形。”据此，选项AD正确。
根据《刑诉解释》第242条，在宣告判决前，人民检察院要求撤回起诉的，人民法院应当审查人民检察院撤回起诉的理由，并作出是否准许的裁定。
延期审理，是指在法庭审理过程中，遇有足以影响审判进行的情形时，法庭决定延期审理，待影响审判进行的原因消失后，再行开庭审理。中止审理，是指人民法院在审判案件过程中，因发生某种情况影响了案件的正常进行，而决定暂停审理，待其消失后，再行开庭审理。中止审理和延期审理不同，二者的主要区别在于：第一，时间不同。延期审理仅适用于法庭审理过程中，而中止审理适用于人民法院受理案件后至作出判决前。第二，原因不同。导致延期审理的原因是诉讼自身出现了障碍，其消失依赖于某种诉讼活动的完成，因此延期审理不能停止法庭审理以外的诉讼活动；而导致中止审理的原因是出现了不能抗拒的情况，其消除与诉讼本身无关，因此，中止审理将暂停一切诉讼活动。第三，再行开庭的可预见性不同。延期审理的案件，再行开庭的时间可以预见，甚至当庭可以决定；但中止审理的案件，再行开庭的时间往往无法预见。第四，时间是否计入审理期限不同。《刑事诉讼法》第199条规定，依照本法第198条第(2)项的规定延期审理的案件，人民检察院应当在1个月以内补充侦查完毕。第200条第2款规定，中止审理的原因消失后，应当恢复审理。中止审理的期间不计入审理期限。因此，本题中ABC的说法都是正确的，D的说法错误。