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向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关的充要条件是（　　）。

题目
单选题
向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关的充要条件是（　　）。
A

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为零向量

B

其中有一个部分组线性相关

C

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量都能由其余向量线性表示

D

其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合

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相似问题和答案

第1题：

设向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ:线性表示,下列命题正确的是( )



A.若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s
B.若向量组Ⅰ线性相关,则r大于s
C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s

答案：A
解析：

第2题：

向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。

A α1，α2，…，αm中至少有一个零向量
B α1，α2，…，αm中至少有两个向量成比例
C 存在不全为零的常数k1，k2，…，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0
D α1，α2，…，αm中每个向量都能由其余向量线性表示

答案：C
解析：
由向量组线性相关的理论，(A)、(B)、(D)不正确，而(C)是线性相关的定义，也是充分必要条件

第3题：

设向量组I：α1，α2，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。

A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．

B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．

C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．

D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．


正确答案：D
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。

第4题：

填空题
已知向量组（α1，α3），（α1，α3，α4），（α2，α3，）都线性无关，而（α1，α2，α3，α4）线性相关，则向量组（α1，α2，α3，α4）的极大无关组是____.

正确答案： (α1,α3,α4)
解析：
向量组（α1，α2，α3，α4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α1，α3，α4）线性无关，故知（α1，α3，α4）为其极大线性无关组．

第5题：


A.r＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
B.r＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
C.r＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
D.r＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

答案：D
解析：

第6题：

设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则

A.当rB.当r>s时，向量组Ⅱ必线性相关
C.当rD.当r>s时，向量组Ⅰ必线性相关

答案：D
解析：

第7题：

设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。

A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s

答案：A
解析：
由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即

第8题：

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（ ）。

A.A的列向量组线性无关
B.A的列向量组线性相关
C.A的行向量组线性无关
D.A的行向量组线性相关

答案：A
解析：
n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是r（A）=n，即A的列向量组线性无关。

第9题：

单选题
设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（　　）。
A

必定r＜s

B

向量组中任意个数小于r的部分组线性无关

C

向量组中任意r个向量线性无关

D

若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关


正确答案： A
解析：
A项，r可能与s相等；
B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。

第10题：

单选题
设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（　　）.
A

r＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

B

r＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

C

r＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

D

r＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关


正确答案： B
解析：
设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性．

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