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设有方程组AX=O与BX=0,其中A,B都是m×N阶矩阵,下列四个命题：

题目
设有方程组AX=O与BX=0,其中A,B都是m×N阶矩阵,下列四个命题：
　　(1)若AX=O的解都是BX=O的解,则r(A)≥r(B)
　　(2)若r(A)≥r(B),则AX=0的解都是BX=0的解
　　(3)若AX=0与BX=0同解,则r(A)-r(B)
　　(4)若r(A)=r（B）,则AX=0与BX=0同解
　　以上命题正确的是().

A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(3)(4)
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相似问题和答案

第1题：

设有方程组AX=O与BX=0,其中A,B都是m×N阶矩阵,下列四个命题：
　　(1)若AX=O的解都是BX=O的解,则r(A)≥r(B)
　　(2)若r(A)≥r(B),则AX=0的解都是BX=0的解
　　(3)若AX=0与BX=0同解,则r(A)-r(B)
　　(4)若r(A)=r（B）,则AX=0与BX=0同解
　　以上命题正确的是().

A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(3)(4)

答案：B
解析：
若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而　　r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但
　　反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选(B).

第2题：

设A是m×n阶矩阵,则下列命题正确的是().

A.若mB.若m>n,则方程组AX=b一定有唯一解
C.若r(A)=n,则方程组AX=b一定有唯一解
D.若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解

答案：D
解析：
因为若r(A)=m（即A为行满秩矩阵），则r()=m，于是r(A)=r()，即方程组AX=b一定有解，选(D).

第3题：

若A是m×n矩阵，且m≠n，则当R（A）=n时，齐次线性方程组AX=0只有零解


答案：对
解析：

第4题：

设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是().

A.若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=b有唯一解
B.若方程组AX=0有非零解,则方程组AX=b有无穷多个解
C.若方程组AX=b无解,则方程组AX=0一定有非零解
D.若方程组AX=b有无穷多个解,则方程组AX=0一定有非零解

答案：D
解析：

第5题：

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为 矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)； ② 若秩(A) 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解


A.① ②
B.① ③
C.② ④
D.③ ④


答案：B
解析：

第6题：

设A,B都是N阶矩阵,且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则().

A.A,B合同
B.A,B相似
C.方程组AX=0与BX=0同解
D.r(A)=r(B)

答案：D
解析：
因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D).

第7题：

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解，以上命题中正确的是

A.① ②
B.① ③
C.② ④
D.③ ④

答案：B
解析：

第8题：

设A是m×N阶矩阵,B是n×m阶矩阵,则().


A.当m>n时,线性齐次方程组ABX=0有非零解
B.当m>n时,线性齐次方程组ABX=0只有零解
C.当n>m时,线性齐次方程组ABX=0有非零解
D.当n>m时,线性齐次方程组ABX=0只有零解


答案：A
解析：
AB为m阶方阵，当m>n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)

第9题：

设A是m×n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )。

A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有惟一解
B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解
C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解
D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解

答案：D
解析：

第10题：

设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,则方程组BX=O与ABX=O同解的充分条件是().

A.r(A)=s
B.r(A)=m
C.r(B)=s
D.r(B)=n

答案：A
解析：
设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0，因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选(A).

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