已知集合A是方程aX2-4x+2=0(n∈R,x∈R)的解集,若A中至多只有一个元素,求a的取值范围。
A、求最大值
B、求最小值
C、求最大值和最小值
D、求最大值或最小值
求三角形ABC的实形。 (换面法)
在 △ABC中,∠C=90°,AB=10。(1)∠A=30°,求BC,AC(精确到0.01);(2)∠A=45°,求BC,AC(精确到0.01)。
一题30问:一道2020高考题的多角度命题母题:(2020全国2卷文17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知问题:(1)求A;(2)若,证明:ABC是直角三角形;(3)若,求,;(4)若,求ABC的面积.;(5)若a23,ABC的面积为3,求ABC的周长;(6)若ABC的面积为5,b=5,求sinBsinC的值;(7)当取得最大值时,试判断ABC的形状;(8)若,且的外接圆半径为1,求的面积;(9)若AB3,AC边上的中线BD的长为13,求ABC的面积;(10)已知a3,求ABC周长的取值范围;(11)已知ABC的面积为33,求ABC周长的取值范围;(12)若,求ABC的周长的最小值;(13)已知 求ABC面积的最大值;(14)若,求的最大值;(15)ABC内切圆面积为,求的最小值;(16)若,为中点,求;(17)若,求面积的最大值;(18)若,求的取值范围;(19)若,且,是上的点,平分,求的面积;(20)设点满足,求线段长度的取值范围;(21)若,求边上中线的长;(22)若c=32,求ab的取值范围;(23)若,根据的取值范围讨论解的个数;(24)若a=3,试判断bc取得最大时ABC的形状;(25)求2cosB+cosC的最大值;(26)若点M为边AC边上一点,且MCMB,ABM=2,求ABC的面积;(27)已知AB3,延长边CA至D,连接BD,使ABD的面积为334,求AB;(28)证明:1a+b+1a+c=3a+b+c;(29)半圆O的半径为1,A为直径延长线上一点,OA2,B为半圆上任意一点,在ABC中AB=AC,设AOB,当=3时,求四边形OACB的面积;(30)半圆O的半径为1,A为直径延长线上一点,OA2,B为半圆上任意一点,在ABC中AB=AC,设AOB,求线段OC长度的最大值,并指出此时的值【答案解析】(1)因为,所以,即,解得,又,所以;(2)因为,所以,即,又, 将代入得,即,而,解得,所以,故,即ABC是直角三角形(3),解得(4)因为,所以,由正弦定理得,所以,所以ABC的面积为.(5)SABC=12bcsinA,12bcsin3=3,bc4,由已知及余弦定理得:12b2+c22bccosA,12=(b+c)2-2bc-2bccos3,b+c=26,ABC的周长为23+26(6)由Sbcsin Abcbc5,得bc20,又b5,知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021,故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.(7) , ,当时,取得最大值,是直角三角形.(8)设的外接圆半径为,则,由余弦定理得,即,所以.所以的面积为.(9)设AC2x,AB3,AC边上的中线BD的长为13,139+x223xcos60,x4,AC8,ABC的面积S=123832=63(10)已知a3,因为A=3,a=3,由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=23,即ABC的周长l=a+b+c=23sinB+23sinC+3=23sinB+23sin(23-B)+3=33sinB+3cosB+3=6sin(B+6)+3,因为B(0,23),所以6B+656,12sin(B+6)1,即ABC周长的取值范围是(6,9(11)SABC=33因为A=3,SABC=12bcsinA=34bc=33,得bc12,由余弦定理得a2b2+c2bc(b+c)23bc(b+c)236,即ABC的周长l=a+b+c=(b+c)2-36+b+c,因为b+c2bc=43,当且仅当b=c=23时等号成立,所以l(43)2-36+43=63即ABC周长的取值范围是63,+)(12)由余弦定理(当且仅当时取等号),的周长的最小值为6(13)由(1)知,所以,又,所以,当且仅当时取“=”,所以三角形面积的最大值为.(14)由可得, (其中) 的最大值为.(15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由余弦定理,可知由题意,可知的内切圆半径为1,即或(舍)当且仅当b=c时,的最小值为6.(16)由已知得, .(17).,由,可得:,又由于,当且仅当时等差成立,可得:,当且仅当时等差成立,可得:,当且仅当时等差成立,即面积的最大值(18),所以,所以 因为,时,的取值范围是,(19)在中,可得,即有,可得的面积为(20), , , ,当且仅当时取等号,线段长度的取值范围(21)即而面积,又,则又由余弦定理可得得又 (22)由正弦定理:asinA=bsinB=csinC=1,absinAsinBsinAsin(23-A)=12sinA-32cosAsin(A-3)A(0,23),A-3(-3,3)sin(A-3)sin3=32,sin(A-3)sin(-3)=-32ab的取值范围是(-32,32)(23)在三角形中,解的个数即为三角形解的个数,作边上的高,则当或,即或时,三角形有一解;当,即时,三角形有两解;当时,三角形有无解(24)由余弦定理可得(3)2=b2+c2-2bccos3=b2+c2-bcb2+c22bc,32bcbc,即bc3,当且仅当b=c=3时,bc取得最大值,此时a=b=c=3,故ABC为等边三角形(25)C=34-B,2cosB+cosC=2cosA+cos(34-B)=2cosB-22cosB+22sinB=22cosB+22sinBsin(B+4)B(0,34),B+4(4,),故当B+4=2时,sin(B+4)取最大值1,即2cosB+cosC的最大值为1(26) 设BMMCm,易知cosBMCcosBMAsinA=-32,在BMC中,由余弦定理可得32m22m2(-32),解得m23(2-3),所以SBMC=12m2sinBMC=123(2-3)12=6-334,在RtABM中,sinA=32,BM1,ABM=2,所以AB=3,所以SABM=1213=32,所以SABCSBMC+SABM=34+32=334(27)ABD的面积为334,12ABADsin(BAC)=33432ADsin23=334AD1;BD2AD2+AB22ADABcosBAD32+12231(-12)=13;BD=13(27) 证明:由(1)利用余弦定理可得:a2b2+c22bccosAb2+c2bc由(2a+b+c)(a+b+c)3(a+b)(a+c)2a2+3ab+3ac+b2+c2+2bc3(a2+ab+ac+bc)b2+c2a2bc0,2a+b+c(a+b)(a+c)=3a+b+c1a+b+1a+c=3a+b+c(29)在OAB中,由余弦定理得AB21+4212cos3=3,AB=3,SABC=1233
△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求AC
△ABC的三边长分别为5,12,13,与他相似的△DEF的最小边长为15,求△DEF的其他两条边长和周长。
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
已知△ABC的周长是24cm,三边a、b、c满足c+a=2b,c-a=4cm,求a、b、c的长.