填空题微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为____。

题目

填空题

微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为____。

参考答案和解析

正确答案： y=c₁/x³+c₂x+x³/12

解析：
原微分方程为x²y″＋3xy′－3y＝x³，其欧拉方程形式为D（D－1）y＋3Dy－3y＝e^3t，即D²y＋2Dy－3y＝e^3t，即d²y/dt²＋2dy/dt－3y＝e^3t 。解得其通解为y＝c₁e^－^3t＋c₂e^t＋e^3t/12，即y＝c₁/x³＋c₂x＋x³/12。

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相似问题和答案

第1题：

求微分方程y"-3y'+2y=2xe^x的通解.

答案：

解析：

【解】由方程y-3y'+2y=0的特征方程解得特征根，所以方程y-3y'+2y=0的通解为

设y-3y'+2y=2xe^x的特解为y^*=x(ax+b)e^x，则(y^*)'=(ax^2+2ax+bx+b)e^x(y^*)=(ax^2+4ax+bx+2a+2b)e^x
代入原方程，解得a=-1，b=-2，故特解为：y^*=x(-x-2)e^x，所以原方程的通解为

第2题：

3阶常系数线性齐次微分方程

的通解为y=________

答案：

解析：

第3题：

微分方程y′-3y =O的通解为______.

正确答案：
y=Ce^3x

第4题：

微分方程y′+y=0的通解为（）.《》（）

答案：D

解析：

第5题：

在下列微分方程中，以函数y＝C1e^－x＋C2e^4x（C1，C2为任意常数）为通解的微分方程是（　　）。

A． y″＋3y′－4y＝0
B． y″－3y′－4y＝0
C． y″＋3y′＋4y＝0
D． y″＋y′－4y＝0

答案：B

解析：

由题意知，二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为－1和4，只有B项满足。
【总结】求二阶常系数齐次线性微分方程y″＋py′＋qy＝0的通解的步骤：
①写出微分方程的特征方程r2＋pr＋q＝0；
②求出特征方程的两个根r1，r2；
③根据r1，r2的不同情形，写出微分方程的通解：
a．当r1≠r2，