试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的

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第1题：

设A为n阶对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是( ).

A.二次型x^TAx的负惯性指数零

B.存在n阶矩阵C,使得A=CTC

C.A没有负特征值

D.A与单位矩阵合同

参考答案：

第2题：

设A,B是正定实对称矩阵，则().

A. AB,A+B一定都是正定实对称矩阵

B. AB是正定实对称矩阵，A+B不是正定实对称矩阵

C. A+B是正定实对称矩阵，AB不一定是正定实对称矩阵

D. AB必不是正定实对称矩阵，A+B必是正定实对称矩阵

参考答案C

第3题：

n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是()。

A、|A|0

B、存在n阶方阵C使A=CTC

C、负惯性指标为零

D、各阶顺序主子式均为正数

参考答案：D

第4题：

设A,B都是,n阶矩阵,其中B是非零矩阵,且AB=O,则().

A.r(B)=n
B.r(B)C.A2-Bz=(A+B)(A-B)
D.｜A｜=0

答案：D

解析：

因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)小于n，于是|A|=0，选(D).

第5题：

设A,B为正定矩阵,C是可逆矩阵,下列矩阵不是正定矩阵的是().

答案：D

解析：

第6题：

设A，B是正定矩阵，则A+B为()

参考答案：正定矩阵

第7题：

N阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是().

A.A无负特征值
B.A是满秩矩阵
C.A的每个特征值都是单值
D.A^-1是正定矩阵

答案：D

解析：

A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件，选(D).

第8题：

n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是()。

A、∣A∣0

B、存在n阶矩阵P，使得A=PTP

C、负惯性指数为0

D、各阶顺序主子式均为正数

参考答案：D

第9题：

若A是实对称矩阵，则若|A|＞O，则A为正定的

答案：错

解析：

第10题：

n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是( )。

A.所有k级子式为正(k=1，2，…，n)
B.A的所有特征值非负
C.

D.秩(A)=n

答案：A

解析：

试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的

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