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设λ=1/2是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵(2A3)-1有一个特征值为：

题目
设λ=1/2是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵(2A3)-1有一个特征值为：
A. 3 B.4 C.1/4 D. 1

参考答案和解析
答案：B
解析：
提示:利用矩阵的特征值与矩阵的关系的重要结论:设λ为A的特征值，则矩阵kA、aA +bE、A2、Am、A-1 、A*分别有特征值:kλ、aλ+b、λ2、λm、1/λ、 A /λ，且特征向量相同(其中a，b为不等于0的常数，m为正整数)。
矩阵(2A3)-1对应的特征值应是矩阵2A3对应特征值的倒数，下面求矩阵2A3对应的特征值。已知λ=1/2是非奇异矩阵A的特征值，矩阵A3对应的特征值为矩阵A对应的特征值λ=1/2的三次方(1/2)3 ，矩阵2A3对应的特征值为2(1/2)3 =1/4，从而(2A3)-1对应的特征值为1/(1/4)=4。
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相似问题和答案

第1题：

设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为－1,2,则|B|=1。()

此题为判断题(对，错)。


参考答案：错误

第2题：

设A是n阶实对称矩阵，则A有n个()特征值.


参考答案：实

第3题：

设三阶矩阵A的特征值为1,1,2,则2A＋E的特征值为()。

A、3，5

B、1，2

C、1，1，2

D、3，3，5


参考答案：D

第4题：

设是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵（2A3）- 1有一个特征值为：

A.3
B.4
C.
D.1

答案：B
解析：
提示：利用矩阵的特征值与矩阵的关系的重要结论：设λ为A的特征值，则矩阵

第5题：

设A是n阶矩阵,且E＋3A不可逆,则()。

A.3是A的特征值

B.-3是A的特征值

C.1/3是A的特征值

D.-1/3是A的特征值


答案：D

解析：E＋3A不可逆，即∣E＋3A∣=0，即-3 * ∣（-1/3）E-A∣=0，所以A的特征值为-1/3。

第6题：

设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.


正确答案：
0

第7题：

三阶矩阵A的特征值为－2,1,3,则下列矩阵中为非奇异矩阵的是().

A.2E-A

B.2E+A

C.E-A

D.A-3E


参考答案：

第8题：

设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为－1,2,则|B|=()

A、-1

B、-2

C、1

D、2


参考答案：B

第9题：

已知二阶实对称矩阵A的特征值是1，A的对应于特征值1的特征向量为（1，－1）T，若|A|＝－1，则A的另一个特征值及其对应的特征向量是（　　）。


答案：B
解析：
根据矩阵行列式与特征值的关系：|A|＝λ1λ2，故另一个特征值为－1，其对应的特征向量应与已知特征向量正交，即两向量点乘等于零，因此（1，1）T满足要求。

第10题：

设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是().

A.矩阵A不可逆
B.矩阵A的迹为零
C.特征值-1,1对应的特征向量正交
D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量

答案：C
解析：
由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得|A|=0，则r(A)小于3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，所以选(C).

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