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设AX=0与BX=0均为n元齐次线性方程组，秩r（A）=r（B），且方程组AX=0的解均为方程组BX=0的解，证明方程组

题目
问答题
设AX=0与BX=0均为n元齐次线性方程组，秩r（A）=r（B），且方程组AX=0的解均为方程组BX=0的解，证明方程组AX=0与BX=0同解.
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第1题：

若A是m×n矩阵，且m≠n，则当R（A）=n时，齐次线性方程组AX=0只有零解


答案：对
解析：

第2题：

设A,B都是N阶矩阵,且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则().

A.A,B合同
B.A,B相似
C.方程组AX=0与BX=0同解
D.r(A)=r(B)

答案：D
解析：
因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D).

第3题：

设n元齐次线性方程组AX=O只有零解,则秩(A)=()。


答案：n或未知量个数

第4题：

设A是m×n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )。

A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有惟一解
B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解
C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解
D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解

答案：D
解析：

第5题：

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为 矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)； ② 若秩(A) 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解


A.① ②
B.① ③
C.② ④
D.③ ④


答案：B
解析：

第6题：

设有方程组AX=O与BX=0,其中A,B都是m×N阶矩阵,下列四个命题：
　　(1)若AX=O的解都是BX=O的解,则r(A)≥r(B)
　　(2)若r(A)≥r(B),则AX=0的解都是BX=0的解
　　(3)若AX=0与BX=0同解,则r(A)-r(B)
　　(4)若r(A)=r（B）,则AX=0与BX=0同解
　　以上命题正确的是().

A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(3)(4)

答案：B
解析：
若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而　　r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但
　　反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选(B).

第7题：

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解，以上命题中正确的是

A.① ②
B.① ③
C.② ④
D.③ ④

答案：B
解析：

第8题：

设A为n阶方阵,r(A)n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是()

A、Ax=0只有零解

B、Ax=0的基础解系含r(A)个解向量

C、Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量

D、Ax=0没有解


参考答案：C

第9题：

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则

A.r=m时，方程组A-6有解.
B.r=n时，方程组Ax=b有唯一解.
C.m=n时，方程组Ax=b有唯一解.
D.r

答案：A
解析：
因为A是m×n矩阵，若秩r(A)=m，则m=r(A)≤r(A，b)≤m.于是r(A)=r(A，b).故方程组有解，即应选(A).或，由r(A)=m，知A的行向量组线性无关，那么其延伸必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个行向量也是线性无关的，亦知r(A)=r(A，b).关于(B)、(D)不正确的原因是：由r(A)=n不能推导出r(A，b)=n(注意A是m×n矩阵，m可能大于n)，由r(A)=r亦不能推导出r(A，b)=r，你能否各举一个简单的例子？至于(C)，由克拉默法则，r(A)=n时才有唯一解，而现在的条件是r(A)=r，因此(C)不正确，

第10题：

设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是().

A.若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=b有唯一解
B.若方程组AX=0有非零解,则方程组AX=b有无穷多个解
C.若方程组AX=b无解,则方程组AX=0一定有非零解
D.若方程组AX=b有无穷多个解,则方程组AX=0一定有非零解

答案：D
解析：

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