2013年硕士研究生入学考试初试专业课试题825 (2)

设A是欧氏空间V关于基a₁,a₂...an的度量矩阵，a₁,a₂...an是标准正交基的充分必要条件是()。

A. A是正交矩阵

B. A是单位矩阵

C. A是对称阵

D. A是矩阵

参考答案B

设σ是欧氏空间V的对称变换，则σ在V的标准正交基下的矩阵_______

参考答案对称矩阵

设A为三阶实对称矩阵,A的每行元素之和为5,AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值,
　　对应特征向量为(-1,0,1)^T.
　　(1)求A的其他特征值与特征向量；
　　(2)求A.

答案：

解析：

设A是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A^2－3A=O,设（1,1,-1）t为A的非零特征值对应的特征向量.(1)求A的特征值；(2)求矩阵A.

答案：

解析：

设A=

,求A的特征值与特征向量,判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵P及对角阵.

答案：

解析：

京科技大学2013年硕士学位研究生入学考试试题=试题编号： 825 试题名称：高等代数（共 2 页）适用专业：数学、统计学、固体力学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效. =一、填空题（每小题4分，共20分）1. 设，则中的系数是，常数项等于 2. 设四阶矩阵的初等因子为，则的Jordan标准形是 .3设为线性空间的一个线性变换，且，则的特征值只能是 .4. 设是维列向量，, , 则是的重特征值.5. 设、分别是阶和阶可逆矩阵，则二(10分)、设,. 求.三(20分)、设线性变换在三维线性空间的一组基下的矩阵是(1)求在基下的矩阵，其中(2) 求的值域和核；(3) 把的基扩充为的基，并求在这组基下的矩阵. 四(20分)、设分别是中的对称矩阵和反对称矩阵构成的子空间，证明：. 五(20分)、设实对称矩阵. （1）求可逆矩阵，使得成对角阵，并写出该对角矩阵；（2）求一个非退化线性替换把二次型化为标准形. 六(20分)、设是一个阶方阵，证明：.七(20分)、如果齐次线性方程组的系数矩阵为，是矩阵中划去第列所得到的矩阵的行列式，证明：是该方程组的一个解. 八(20分)、设是次数不超过3的多项式全体连同0多项式构成的线性空间，, 现有的线性变换：求的特征值及特征向量, 并判定能否对角化. 3

设矩阵A=